光学笔记（五）光在晶体中的传播

本文讨论光在各向异性介质中的传播。在各向异性介质中我们主要讨论晶体，但也不完全限于晶体。对于光本身，在这里突出的是它的偏振态的改变问题。

基本概念

晶体的分类

单轴晶体：冰洲石，石英，红宝石，冰

双轴晶体：云母，蓝宝石，橄榄石，硫黄

正晶体：vo>vev_o > v_evo​>ve​，no

负晶体：vonen_o > n_eno​>ne​，以冰洲石为代表

晶体平面

晶体平面是为了方便描述和确定光的传播方向与振动方向而定义的。

主截面：界面的法线与晶体的光轴组成的平面，称为主截面。

主平面：晶体中某条光线与晶体光轴构成的平面，叫做主平面。

入射面：界面的法线与光线构成的平面，称为入射面。

o光与e光

性质1：ooo 光沿任意方向传播的速度 vov_ovo​ 相同，其波面是球面；eee 光沿光轴方向的传播速度与 ooo 光一样，也是 vov_ovo​，垂直光轴方向的传播速度是另一数值 vev_eve​ 。对于任意光线方向，设光线方向与光轴的夹角为 θ\thetaθ ，则

1n2(θ)=cos⁡2θno2+sin⁡2θne2\frac{1}{n^2(\theta)} = \frac{\cos^2 \theta}{n_o^2} + \frac{\sin^2 \theta}{n_e^2}

n2(θ)1​=no2​cos2θ​+ne2​sin2θ​

v(θ)=cn(θ)v(\theta) = \frac{c}{n(\theta)}

v(θ)=n(θ)c​

性质2：ooo 光电矢量的振动方向与主平面垂直， eee 光电矢量的振动方向在主平面内。

如图所示的负晶体冰洲石中，主平面为纸面。因此 −-− 标记的为 eee 光，∙\bullet∙ 标记的为 ooo 光。

性质3：ooo 光的波面是球面，eee 光的波面是回转椭球面。

晶体的惠更斯作图法

画出平行的入射光束，令两边缘光线与界面的交点分别为 A,BA,BA,B 。

由先到界面的 AAA 点作另一边缘入射线的垂线 ABABAB ，它便是入射线的波面。求出 BBB 到 B′B^\primeB′ 的时间 t=BB′‾/ct=\overline{B B^\prime} /ct=BB′/c 。

以 AAA 为中心，votv_otvo​t 为半径，在折射介质内作半圆，这就是另一边缘入射线到达 B′B^\primeB′ 点时由 AAA 点发出的 ooo 光次波面。再作一个与它在光轴方向上相切的半椭球面，其另外的半主轴长为 vetv_e tve​t，这就是 eee 光的次波面。

通过 B′B^\primeB′ 点作上述半圆的切线，这就是折射线的波面。

从 AAA 连接到切点 A′A^\primeA′ 的方向便是折射线的方向。

晶体光学器件

晶体偏振器

Wollaston棱镜是由两块冰洲石的直角三棱镜粘合而成的。第一块冰洲石棱镜的光轴与入射界面平行，第二块冰洲石棱镜的光轴与入射面垂直。在两块冰洲石的分界面上，由于光轴的转变，原来的 ooo 光变成了 eee 光，原来的 eee 光变成了 ooo 光。

波晶片

波晶片是从单轴晶体中切割下来的平行平面板，波晶片的表面与光轴平行。

当一束平行光正入射时，分解成的 ooo 光和 eee 光传播方向虽然不改变，但它们在波晶片内的速度 vo,vev_o,v_evo​,ve​ 不同 ，或者说波晶片对于它们的折射率 no=c/vo,ne=c/ven_o = c/v_o, n_e = c/v_eno​=c/vo​,ne​=c/ve​ 不同。设波晶片的厚度为 ddd，则 ooo 光和 eee 光通过波晶片时的光程也不同。相位差为

Δ=φo−φe=2πλ(no−ne)d\Delta = \varphi_o-\varphi_e=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d

Δ=φo​−φe​=λ2π​(no​−ne​)d

适当地选择 ddd ，可以制作不同的相位延迟片

λ/4\lambda/4λ/4 片：厚度满足 (no−ne)d=±λ/4(n_o-n_e)d=\pm \lambda/4(no​−ne​)d=±λ/4 ，Δ=±π/2\Delta = \pm \pi/2Δ=±π/2

λ/2\lambda/2λ/2 片：厚度满足 (no−ne)d=±λ/2(n_o-n_e)d=\pm \lambda/2(no​−ne​)d=±λ/2 ，Δ=±π\Delta = \pm \piΔ=±π

全波片：厚度满足 (no−ne)d=±λ(n_o-n_e)d=\pm \lambda(no​−ne​)d=±λ ，Δ=±2π\Delta = \pm 2\piΔ=±2π

偏振光的干涉

如图所示在两偏振片Ⅰ，Ⅱ之间插入一块厚度为 ddd 的波晶片，三元件的平面彼此平行，光线正入射到这一系统中。

设 eee 轴与 P1P_1P1​ 轴的夹角为 α\alphaα ， 与 P2P_2P2​ 轴的夹角为 β\betaβ ，两个振动之间的相位差为 δ\deltaδ ，则可得

I2=A12(cos⁡2αcos⁡2β+sin⁡2αsin⁡2β+2cos⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡βcos⁡δ)I_{2} =A_{1}^{2}\left(\cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta+\sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta+2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta \cos \delta\right)

I2​=A12​(cos2αcos2β+sin2αsin2β+2cosαcosβsinαsinβcosδ)

其中两个振动之间的相位差 δ\deltaδ 由三部分组成：

入射光原有的 eee 光与 ooo 光的相位差 δi\delta_\text{i}δi​ ；

坐标轴投影引起的相位差 δproj\delta_\text{proj}δproj​ ：若 eee 轴和 ooo 轴的正向对 P1P_1P1​ 轴和 P2P_2P2​ 轴的两个投影分量方向一致，则 δproj=0\delta_\text{proj} = 0δproj​=0 ，若两个投影分量方向相反，则 δproj=π\delta_\text{proj} = \piδproj​=π ；

由波晶片引起的相位差 Δ\DeltaΔ ： ooo 光和 eee 光的附加相位差为 Δ=2πλ(ne−no)d\Delta =\dfrac{2\pi}{\lambda}(n_e-n_o)dΔ=λ2π​(ne​−no​)d 。